Primero planteamos su energía potencial:
A continuación, la condición de ligadura (longitud de la cuerda).
Se construye el funcional: F=U-λL
Y se busca la curva y(x) tal que haga extremal al funcional aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange, que a este caso particular se resumen en:
Donde c y λ son constantes a determinar. La ecuación de Euler-Lagrange se simplifica en:
Que es una ecuación diferencial en variables separables:
Integrando (cambio de variable ρgy-λ=c•coshz )
Llegamos a la expresión de la catenaria:
Imponiendo y(a)=y(-a) obtenemos que x0=0.
Imponiendo longitud l de la cuerda (sustituir y(x) en L e integrar) obtenemos una ecuación trascendente con la incógnita c. Su valor se obtiene aplicando varios métodos de resolución de ecuaciones no lineales.
Imponiendo y(a)=h ya conocido c, se obtiene λ.
Por poner un ejemplo, usaremos una altura de h=5 metros, densidad lineal de 0,3 kg/m, varias longitudes de 3,4,5,6,7 y 8 metros:
(Se utilizó el método del Punto Fijo)
Y la representación gráfica:
Parecen parábolas, y no es casualidad. La función coseno hiperbólico (cosh ó ch) es la parte par de la exponencial, y por tanto,en su desarrollo de Taylor en el origen, sólo aparecen términos de potencias pares. En muchas ocasiones el tercer término del desarrollo de Mclaurin (el que va con x a la cuarta) y los sucesivos resultan despreciables, de ahí que podamos pensar que es una Parábola.
